数学学院除了要培养数学家外，还要向社会各个领域输送人材。复旦数学学院最近几年每年都要招收三百多名本科生和研究生，全国各大学每年招收的数学系学生更多了。这些学生毕业后大多数都不会从事数学研究或教学工作。我在讲授一些抽象的数学理论时也常常有同学提出疑问：“老师你讲的这些东西有什么用？”这就产生了问题，数学教育的目的是什么？数学学院存在的价值是什么？不仅数学学院有这个问题，其他理科恐怕也有类似的疑问。

我觉得不能狭隘地从眼前的实用的观点看问题。数学教育（其他学科同样）除了向学生传授专业知识外，一个重要任务是要培养学生热爱科学的精神，学会科学的思维方式。只有这样，学生才会具有孜孜不倦的探索精神，才有可能成为创新人才。正如卢梭所言：“问题不在于教他各种学问，而在于培养他有爱好学问的兴趣，而且在这种兴趣充分增长起来的时候，教他以研究学问的方法。”

应该看到，由于中国长达数千年的皇权专制统治，传统文化中科学精神尤其缺乏。这是导致近代中国在科学上落后于西方的重要原因。一个具有现代科学思想和知识的人对迷信，对无知的妄言有着强大的免疫力；一个热爱科学的人会以追求真理为己任；一个理性的人不会轻易盲从，不会人云亦云，会有自己独立的思想。

我们虽然不需要也不可能培养成千上万的数学家，但是具有扎实的数学知识，热爱科学并具有逻辑头脑的人在其他科学领域里也会做出成绩，甚至取得伟大的成就。这方面的例子数不胜数。现代科学的几乎所有领域中取得的伟大成就，离开了数学工作者的贡献是不可想象的。

 要让学生热爱数学，教育者的任务就是要向学生展现数学之美。在普通人看来，数学是一堆枯燥无味的数字与符号的集合，稀奇古怪的术语、符号与公式令人头疼。数学的美是内在的，数学的美只有在学习和研究的过程中领略到。有一本合适的教材，上好每一堂课，是教好数学最重要的环节，也是教师的责任。

编写高等代数教材一开始碰到的问题是采用什么样的结构来展开课程的内容。究竟以“矩阵为纲”还是以“线性空间为纲”？我们选择了后者。也就是把高等代数的内容放在线性空间的框架下展开。这样做的好处是可以把代数和几何有机地结合起来。我们经常采用这样的方法：“几何”地提出问题，用代数的方法来解决问题。这样做，问题直观明确，学生容易理解，也有兴趣，不会在抽象的概念中迷失方向。比如，矩阵的秩可以看成是线性映射像空间的维数；相似标准型问题可以看成是寻找线性空间的一组基使得给定的线性变换具有最简单的矩阵形式；正交相似标准型可以看成为在欧氏空间中线性变换在某组标准正交基下的最简形式，等等。

课堂教学是数学教育的另一个重要环节。课堂教学要吸引同学，不能光在语言生动，幽默风趣上下功夫。更重要的是要从内容上、逻辑上充分展现数学的美。要做到这一点，我主张首先要以问题为导向。在每一章节的开始，要向学生交代清楚，我们要做什么？然后分析问题，提出解决问题的思路，即让学生知道怎么做。这样就会牢牢吸引同学们的注意力。学生们会从你的讲课中受到启发。久而久之，科学的思维方式就会在他们的大脑中扎下根来。

提高学生学习兴趣的另外一个环节是让学生看到抽象的数学理论不仅在理论上是美的，而且有重要的应用价值。代数学的理论不仅在计算机科学、物理学、工程上有重要的应用，在现代通讯理论，互联网技术，大数据，人工智能等诸多方面都有着极其重要的应用。把这些内容介绍给学生，自然会引起他们的极大兴趣。当然这些内容不一定要在课堂上讲授，可以指导学生在课外时间进行学习。